Cinemática

La Derivada

La derivada de una función 𝒇 en 𝒙 𝟎 , ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇 , es el límite:

<\cap f'_{(x_0)} = \lim_{h\to0} \frac{f_{(x_0+h)}-f_{(x_0)}}{h}

Las notaciones para la primera derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥 son:

f'_{(x)};\frac{dy}{dx};y';\frac{d[f_{(x)}]}{dx};D_x(y)

Las notaciones que vamos a usar son:

f'_{(x)};\frac{dy}{dx}

• f'(x): se lee «f prima de x»
• dy/dx: se lee «derivada de y con recpecto a x»

Derivadas que más vamos a usar:

f_{(x)} = x^n \Longrightarrow f'{(x)} = nx^{n-1}

f_{(x)} = C \Longrightarrow f'{(x)} = 0

f_{(x)} = e^x \Longrightarrow f'{(x)} = e^x

Reglas de la derivada

Derivada del producto por una constante:

(kf')_{(x)}=kf'_{(x)}

Derivada de una suma:

(f+g)'_{(x)}=f'_{(x)} + g'_{(x)}

Derivada de producto de funciones:

(f \cdot g)'_{(x)}=f'_{(x)} \cdot  g_{(x)} + f_{(x)} \cdot  g'_{(x)}

Derivada del cociente de Funciones

(\frac{f}{g})'_{(x)}= \frac{f'_{(x)} \cdot  g_{(x)} + f_{(x)} \cdot  g'_{(x)}}{[g_{(x)}]^2}

Cinemática

Posición

Considere una partícula situada en un punto de una curva espacial definida por la función de trayectoria s(t). El vector de posición r = r(t) designará la posición de la partícula, medida con respecto a un punto fijo O. Observe que tanto la magnitud como la dirección de este vector cambiarán a medida que la partícula se mueve a lo largo de la curva.

Desplazamiento

Suponga que durante un breve intervalo Δt la partícula se mueve una distancia Δs a lo largo de la curva a una nueva posición, definida por r’ = r + Δr. El desplazamiento Δr representa el cambio de posición de la partícula y se determina mediante una resta vectorial, es decir:

Δ\vec{r} = r'-r

Δr (Desplazamiento) = r'(posición final) – r(posición inicial)

Trayectoria y Desplazamiento

Velocidad media

La velocidad media es una magnitud vectorial que se define como la razón del desplazamiento por unidad de tiempo

\vec{v}_{media} = \frac{\triangle \vec{r}}{ \triangle t}

Velocidad media = Desplazamiento / tiempo

Rapidez

La rapidez es una magnitud escalar que se define como la razón de la distancia recorrida por unidad de tiempo.

v=\frac{\triangle s}{ \triangle t}

Rapidez = Recorrido / Tiempo

\triangle \vec{x} = +2,0m

t = 2,0s

\vec{v}_{media} = \frac{+2m}{2s} \hat{\imath} = +1 \hat{\imath} m/s

Aceleración media

La aceleración media es la tasa media de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo Δt.

\vec{a}_{media} = \frac{\triangle \vec{v}}{\triangle t}

Aceleración media = Variación de velocidad / Tiempo

Tabla de Fórmulas (Resumen):

Derivadas

f_{(x)} = x^n \Longrightarrow f'{(x)} = nx^{n-1}

f_{(x)} = C \Longrightarrow f'{(x)} = 0

f_{(x)} = e^x \Longrightarrow f'{(x)} = e^x

Cinemática

Δ\vec{r} = r'-r

Δr (Desplazamiento) = r'(posición final) – r(posición inicial)

\vec{v}_{media} = \frac{\triangle \vec{r}}{ \triangle t}

Velocidad media = Desplazamiento / tiempo

v=\frac{\triangle s}{ \triangle t}

Rapidez = Recorrido / Tiempo

\vec{a}_{media} = \frac{\triangle \vec{v}}{\triangle t}

Aceleración media = Variación de velocidad / Tiempo