Física y Análisis Dimensional

Física

Podemos dividirla en dos grandes campos:
• Física clásica
• Física moderna

Cada una de ellas está integrada por varias disciplinas, como se muestra a continuación:

Física clásica

• 𝑀𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎
• 𝐶𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎
• 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑠𝑚𝑜
• 𝐿𝑢𝑧 𝑦 Ó𝑝𝑡𝑖𝑐𝑎

Física Moderna

• 𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑
• 𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝐶𝑢á𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎

*Los marcados en negrita es lo que abarcaremos dentro de este curso.

Repasemos algunos conceptos importantes para poder llevar el curso.

Adición y Sustración de Números Racionales

Adición y Sustracción de Fracciones Homogéneas

Para sumar o restar fracciones homogeneas se operan los numeradores y se mantiene el denominador:

\frac{7}{13} - \frac{10}{13} + \frac{2}{13} - \frac{20}{13} = \frac{7-10+2-20}{13} = \frac{21}{13}

Adición y Sustracción de Fracciones Heterogéneas

Para sumar o restar fracciones heterogéneas, se calcula el MCM de los demoninadores, se divido entre cada uno de ellos y se multiplica por su respectivo numerador. El resultado es la suma de los productos entre el MCM.

\frac{13}{12} - \frac{3}{15} + \frac{7}{20} = \frac{(60 \div 12) (13) - (60 \div 15)(3) + (60 \div 20)(7)}{60}

= \frac{65 - 12 + 21}{60}

= \frac{74}{60} = \frac{37}{30}

Adición y Sustracción de Fracciones Mixtas

La suma de enteros es la parte entera y la suma de las fracciones propias, la parte fraccionaria. Si la parte
fraccionaria resulta impropia se la convierte en propia.

2 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{5} + 3 \frac{7}{8} = 2 - 1 + 3 + \frac{3}{4} - \frac{1}{5} + \frac{7}{8}

= 4 + \frac{30 - 8 + 35}{40}

= 4 + \frac{57}{40} = 5 \frac{17}{40}

Ejercicio 01

Evalúa la expresión para x=7:

\frac{x-1}{x+2} + \frac{1}{x-1} - \frac{3x}{2x+4} - \frac{2x}{x+5}

Sol:

\frac{7-1}{7+2} + \frac{1}{7-1} - \frac{3(7)}{2(7)+4} + \frac{2(7)}{7+5}

\frac{6}{9} + \frac{1}{6} - \frac{21}{18} + \frac{14}{12}

\frac{(2)2}{(2)3} + \frac{1}{6} - \frac{7}{6} + \frac{7}{6}

\frac{4}{6} + \frac{1}{6} - \frac{7}{6} + \frac{7}{6}

\frac{4+1-7-7}{6} = - \frac{9}{6} = - \frac{3}{2}

Leyes de Exponentes

a^n \cdot a^p \cdot a^r = a^{n+p+r}

\frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}

(a^n)^p = a^{n \cdot p}

(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

\sqrt[n]{a^{p}}=a^{p/n} = (\sqrt[n]{a})^p

a^0=1, \forall a \in \mathbb{R} - \{ 0 \}

a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}, \forall a \neq 0

Ejercicio 02

Sabiendo que la siguiente es una ecuación exponencial en R, se pide determinar los valores de “x” e “y”.

a^x \cdot b^{-y} = (a^{-12} \cdot b^{-8}) \cdot (a^2 \cdot b^5)^2

Sol:

a^x \cdot b^{-y} = (a^{-12} \cdot b^{-8}) \cdot (a^4 \cdot b^{10})

a^x \cdot b^{-y} = a^{-8} \cdot b^{2}

x=-8, -y=2

x=-8, y=-2

Análisis Dimensional

Parte de la física orientada a estudiar las magnitudes, unidades correspondientes y la relación entre las magnitudes fundamentales y derivadas.

Magnitud

En términos físicos es todo aquello susceptible de ser medido.

Magnitudes Fundamentales

Aquellas que sirven de base y responden a un sistema.

Ejm. Longitud (L), masa (M), tiempo (T), temperatura termodinámica (q), cantidad de sustancia (N), intensidad luminosa (J), intensidad de corriente (I).

*Los marcados en negrita es lo que abarcaremos dentro de este curso.

Magnitudes Derivadas

Aquellas que están en relación con las magnitudes fundamentales. Ejm. Velocidad, Fuerza, aceleración, presión, trabajo, etc.

Dimensión

Número al cual esta elevado una magnitud.

Fórmula Física

Es aquel modelo matemático que resulta de la aplicación de una ley o principio físico y en la que están relacionadas las magnitudes involucradas con el fenómeno.

d = v_ot+1/2at^2

Fórmula Dimensional

Es la expresión de una magnitud en términos de las magnitudes fundamentales. Se adopta el símbolo [ ] para representar la fórmula dimensional de la magnitud física.

[X] = L^a \cdot M^b \cdot T^c \cdot q^d \cdot I^e \cdot J^f \cdot N^g

Ecuación Dimensional

Es aquella relación de igualdad en donde funcionan como variables las magnitudes y/o las dimensiones.

Fórmulas Dimensionales

Ejercicios de Apliación

1. En la Expresión dada:

\left[\sum_{i=1}^{m}F_i\right] \frac{wh}{m} = \frac{R^{-z} ak}{F_0}

Donde:
𝐹_𝑖 , 𝐹₀: son fuerzas,
𝜔: Frecuencia angular,
ℎ y 𝑅: Longitudes
𝑚: Masa
𝑎: aceleración
[𝑘] = 𝑀𝑇⁻³
¿Cuál es el valor de 𝑧?

Sol:

\left[\sum_{i=1}^{m}F_i\right] \frac{wh}{m} = \frac{R^{-z} ak}{F_0}

\left[\sum_{i=1}^{m}F_i\right] \frac{[w][h]}{[m]} = \frac{[R]^{-z} [a][k]}{[F_0]}

MLT^{-2} \frac{T^{-1} \cdot L}{M} = \frac{L^{-z} \cdot LT^{-2} \cdot MT^{-3}}{MLT^{-2}}

\frac{ML^2T^{-3}}{M} = \frac{M L^{1-z} T^{-5}}{MLT^{-2}}

L^2T^{-3} = L^{-z}T^{-3}

-z=2 \therefore z=-2

2. Hallar la dimensión de 𝐸, si la ecuación es dimensionalmente homogénea

E = \frac{S \nu \alpha F}{d \omega}

Donde 𝑆: área, 𝑣: velocidad lineal, 𝛼: aceleración angular (𝑇⁻²), 𝐹: Fuerza, 𝑑: densidad, 𝜔: velocidad angular (𝑇⁻¹)

Sol:

[E] = \frac{[S] [\nu] [\alpha] [F]}{[d] [\omega]}

[E] = \frac{L^2 \cdot LT^{-1} \cdot T^{-2} \cdot MLT^{-2}}{ML^{-3} \cdot T^{-1}}

[E] = \frac{ML^{4}T^{-5}}{ML^{-3} T^{-1}}

[E] = L^{7}T^{-4}

3. Verificar si la siguiente igualdad es dimensionalmente correcta:

Dónde: F = fuerza, l = longitud, T = tiempo, v = velocidad, p = peso específico.

\rho = \frac{FL^2T^{-2}}{\upsilon^2L^3}

Sol:

[\rho] = \frac{[F][L]^2[T]^{-2}}{[\upsilon]^2[L]^3}

[\rho] = \frac{MLT^{-2} \cdot L^2 \cdot T^{-2}}{(LT^{-1})^2 \cdot L^3}

[\rho] = \frac{ML^3T^{-4}}{L^2T^{-2} \cdot L^3}

[\rho] = \frac{ML^3T^{-4}}{L^5T^{-2}}

[\rho] = ML^{-2}T^{-2}

4. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, hallar los valores de «a» y «b»

Siendo: m = Masa, v = Velocidad, k = Número, g = Aceleración de gravedad, D = Densidad

m^{-1/3} v^2 = kg^aD^b

Sol:

[m]^{-1/3}[ v]^2 = [k][g]^a[D]^b

M^{-1/3} \cdot (LT^{-1})^2 = k \cdot (LT^{-2})^a \cdot (ML^{-3})^b

M^{-1/3} \cdot L^2T^{-2} = L^aT^{-2a} \cdot M^bL^{-3b}

M^{-1/3}L^2T^{-2} = M^bL^{a-3b}T^{-2a+b}

\therefore
b=-1/3

2=2a-3b

2=2a-3\left(-\frac{1}{3}\right)

2=-2a

a=1 ; b=-1/3