Función, Dominio y Rango – Función Lineal

Función

Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto D (llamado dominio) un único elemento en un conjunto R (llamado rango).

La regla de correspondencia de una función será denotada por la ecuación:

y = f_{(x)}

Donde:

«x» es la variable independiente y los valores que tome (sobre los reales) debe pertenecer al dominio de la función, los cuales ubicaremos en el eje x del plano cartesiano xy.
«y» es la variable dependiente y los valores f_(x) deben pertenecer al rango de la función, los cuales ubicaremos en el eje y del plano cartesiano xy.

El dominio de una función será denotado por el conjunto:

Dom(f) = \{ x \in \R / restricción \}

El rango de una función será denotado por el conjunto:

Ran(f) = \{ f_{(x)} / x \in Dom(f) \}

Para el cálculo del dominio y el rango se debe generar las proyecciones de la gráfica sobre el eje X y el eje Y respectivamente.

Dom f \Rightarrow x (horizontal)

D_f = [-5;-3] \cup ]-3;1] \cup ]1;5]

Ranf = y (vertical)

R_f = \{1\} \cup[2;4] \cup [0:9]

El dominio es el conjunto de todos los reales excepto en las funciones:

f_{(x)} = \frac{A_{(x)}}{B_{(x)}} \longrightarrow Dom_f = \{ x \in \R / B_{(x)} \neq 0 \}

f_{(x)} = \sqrt[2n]{B_{(x)}} \longrightarrow Dom_f = \{ x \in \R / B_{(x)} \geq 0 \}

f_{(x)} = \frac{A_{(x)}}{\sqrt[par]{B_{(x)}}} \longrightarrow Dom_f = \{ x \in \R / B_{(x)} >0 \}

f_{(x)} = \sqrt[impar]{B_{(x)}} \longrightarrow Dom_f = \R

f_{(x)} = \frac{A_{(x)}}{\sqrt[impar]{B_{(x)}}} \longrightarrow Dom_f = \{ x \in \R / B_{(x)} \neq 0 \}

1. Usando la siguiente Función:

f_{(x)} = \frac{A_{(x)}}{B_{(x)}} \longrightarrow Dom_f = \{ x \in \R / B_{(x)} \neq 0 \}

Resolver:

f_{(x)} = \frac{x+1}{2x-1} \rightarrow Dom_f = \{ x \in \R / 2x-1 \neq 0 \}

2x - 1 \neq 0

2x \neq 1

x \neq 1/2

D_f = \R - \{ 1/2 \}

R_f = \R - \{ 1/2 \}

La función presenta una asíntota en el punto 1/2

2. Usando la siguiente función:

f_{(x)} = \sqrt[2n]{B_{(x)}} \longrightarrow Dom_f = \{ x \in \R / B_{(x)} \geq 0 \}

Resolver:

f_{(x)} = \sqrt{x-8} ; Hallar D_f

x-8 \geq 0

x \geq 8

D_f = [8; \infty+[

R_f = [0; \infty+[

3. Usano la siguiente Función:

f_{(x)} = \frac{A_{(x)}}{\sqrt[par]{B_{(x)}}} \longrightarrow Dom_f = \{ x \in \R / B_{(x)} >0 \}

Resolver

f_{(x)} = \frac{x+2}{ \sqrt{x-8} }

x - 8 > 0

x > 8

D_f = ]8;\infty+[

Existe asintota en 8

4. Resolver

f_{(x)} = \frac{x+2}{ \sqrt{x^2 - 4x} }

Sol:

x^2 - 4 > 0

x(x - 4) > 0

x > 0 ; x>4

D_f = ]- \infty ; 0[ \cup]4; \infty+[

Regla de correspondencia:

F_{(x)}=mx+b

D_f ; R_f = \R

m = a => Pendiente

Gráfica: Línea Recta

Fórmula Pendiente:

m = \frac{y_2 - y_1}{ x_2 - x_1}

1. Sea:

f: \R \rightarrow \R f_{(x)}=mx+b

con m y b constantes; si: f₍₁₎ = 2 y f₍₃₎ = 1, calcular f₍₅₎

Sol:

f_{(x)} =mx+b

f_{(1)} =m(1)+b

m+b = 2

f_{(3)} =m(3)+b

3m+b = 1

m+b=2 - 3m +b = 1

2m=-1

m = -1/2

m+b=2

-\frac{1}{2}+b=2

b=2+\frac{1}{2}

b=\frac{5}{2}

f_{(x)} = -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}

f_{(5)} = -\frac{1}{2}5+\frac{5}{2} = 0